Решить систему уравнений. 11 класс, средняя сложность.

1) Применим определение логарифма. Система примет вид:

х - у = ху

х + у = 1

решать будем подстановкой из 2-го уравнения: х = 1 - у

1 - у - у = (1 - у) * у

1 - у - у = у - у²

у² - 3 у + 1 = 0

D = b² - 4ac = 5

у = (3 + - √5) / 2 = 1,5 + - 0,5*√5

у₁ = 1,5 + 0,5*√5

у₂ = 1,5 - 0,5*√5

х ₁ = 1 - у = 1 - (1,5 + 0,5*√5) = - 0,5 - 0,5*√5

х₂ = 1 - (1,5 - 0,5*√5) = - 0,5 + 0,5*√5

Получились пары:

(-0,5 - 0,5*√5; 1,5 + 0,5*√5) и (-0,5 + 0,5*√5; 1,5 - 0,5*√5)

2) А вот теперь ОДЗ

а) проверим (-0,5 - 0,5*√5; 1,5 + 0,5*√5)

х - у > 0 (уже ложное высказывание)

x + y > 0

xy≠1

xy > 0 (ложное высказывание)

вывод: ∅

б) проверим (-0,5 + 0,5*√5; 1,5 - 0,5*√5)

х - у > 0 (истинное высказывание)

x + y > 0 (истинное высказывание)

ху > 0 (истинное высказывание)

ху ≠ 1 (истинное высказывание)

Ответ: (-0,5 + 0,5*√5; 1,5 - 0,5*√5)