В классе из 25 учащихся 18 изучают английский язык, 15 немецкий и 17 французский. для каждого двух языков найдется ровно 5 учащихся, изучающих только эти два языка. сколько учащихся изучают все три языка, если каждый учащийся изучал хотя бы один язык?

А - учащиеся, которые изучают английский

Н - учащиеся, которые изучают немецкий

Ф - учащиеся, которые изучают французский

25 - 18 - 5 = Н + Ф - учащиеся, которые не изучают английский = > они изучают немецкий и французский

25 - 15 - 5 = А + Ф - учащиеся, которые не изучают немецкий = > они изучают английский и французский

25 - 17 - 5 = А + Н - учащиеся, которые не изучают французский = > они изучают английский и немецкий

получаем систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

{Н + Ф = 2

{А + Ф = 5

{А + Н = 3

складываем все эти три уравнения, получаем:

Н + Ф + А + Ф + А + Н = 2 + 5 + 3

2 А + 2 Н + 2 Ф = 10

выносим за скобку 2

2 (А + Н + Ф) = 10

отсюда = >

А + Н + Ф = 10 : 2

А + Н + Ф = 5

ответ: 5 учащихся изучают все три языка