X+yz=y+zx=z+xy=6 найти все тройки действительных чисел

Запишем в виде системы

{x+yz=6

{y+zx=6

{z+xy=6

Из уравнения 1 выразим переменную х

{x-=-yz+6

{y+z (-yz+6) = 6

{z + (-yz+6) y=6

Имеем теперь пока 2 системы

{-yz²+y+6z-6=0

{-y²z+6y+z-6=0

{ (z-1) (-yz-y+6) = 0 ⇒ z=1, также - yz-z+6=0

{-y²z+6y+z-6=0

Первый случай

{z=1

{-y²+6y-5=0

Решаем квадратное уравнение

y²-6y+5=0

По т. Виета

y1=1

y2=5

Имеем такие пары решений системы : (5; 1; 1) и (1; 5; 1)

Если

{-yz-y+6=0

{-y²z+6y+z-6=0

{-yz-y+6=0

{y=1

{-yz-z+6=0

{y=1

{z=5

{x=-yz+6=-1*5+6=1

Пара решений системы: (1; 1; 5)

Если

{-yz-y+6=0

{-yz-z+6=0

Выразим переменную у из уравнения 2

{y=6 / (z+1)

ПОдставим и получаем упрощенное уравнение z²+z-6=0

По т. Виета

z1=-3

z2=2

Пары решения системы: (-3; -3; -3) и (2; 2; 2)

ОТвет: (5; 1; 1), (1; 5; 1), (1; 1; 5), (-3; -3; -3), (2; 2; 2).