1) Верно ли, что из 2016 целых чисел всегда можно выбрать 2 числа так, чтобы их сумма была четной?

2) Можно ли натуральные числа от 1 до 21 включительно разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме всех остальных чисел в этой группе?

1) Это верно даже для 3-х чисел ...))

Из 3-х любых целых чисел всегда можно выбрать 2 таких, что они будут либо оба четные, либо оба нечетные.

То есть 2 числа, допустим, четное и нечетное. Третье будет либо четным, либо нечетным. Поэтому среди 3-х любых целых чисел всегда можно найти пару четных или пару нечетных чисел.

Для чего нам это нужно? - С четными все понятно:

2n - первое число, 2 (n+k) - второе.

Тогда: 2n + 2 (n+k) = 2 * (n+n+k) = 2 * (2n+k)

Результатом умножения на 2 любого целого числа будет четное число.

Теперь рассмотрим 2 нечетных числа:

2n+1 - первое число, 2 (n+k) + 1 - второе число

Сумма: 2n+1 + 2 (n+k) + 1 = 2 * (2n+k) + 2 - очевидно, также четное.

Таким образом, из 2016 целых чисел всегда можно выбрать 2 числа так, чтобы их сумма была четной.

2) Нет, нельзя.

Если такое разбиение есть, то полная сумма 1 + 2 + ... + 21 разбивается на две равные части:

1. сумма всех максимальных чисел в каждой группе и

2. сумма всех остальных по всем группам.

Поскольку полная сумма 1 + 2 + ... + 21 = ((1+21) * 21) : 2 = 11 * 21 = 231 нечётна, то это невозможно.