Даны координаты точек А, В, С, D. Найти:

а) векторы АВ; CD; AB + 0,5CD;

б) длины векторов АВ и CD;

в) угол между векторами AB и CD

А (5,0,2) В (0,4,1) С (9,1,-2) D (4,2,6)

А (5,0,2); В (0,4,1); С (9,1,-2); D (4,2,6).

а) векторы АВ; CD; AB + 0,5CD:

Вектор АВ = (0-5,4-0,1-2) = (-5,4,-1);

Вектор CD = (4-9,2-1,6+2) = (-5,1,8);

AB+0,5CD = (-5,4,-1) + 0,5 (-5,1,8) = (-5,4,-1) + (-2,5, 0,5, 4) = (-7,5, 4,5, 3).

б) длины векторов АВ и CD:

Вектор АВ = (-5,4,-1);

|AB| = √ ((-5) ²+4² + (-1) ²) = √ (25+16+1) = √42;

Вектор CD = (-5,1,8);

|CD|=√ ((-5) ²+1²+8²) = √ (25+1+64) = √90=3√10.

в) угол между векторами AB и CD:

Вектор АВ = (-5,4,-1);

Вектор CD = (-5,1,8);

|AB|=√42;

|CD|=3√10;

cos (AB, CD) = (AB*CD) / (|AB|*|CD|) = ((-5,4,-1) * (-5,1,8)) / (√42*3√10) =

= (25+4-8) / (6√105) = 21 / (6√105) = 7 / (2√105) = √105/30.

∠ (AD, CD) = arccos (√105/30).