В окружности с центром O проведены хорды AC и BD так, что они пересекаются в точке P. Докажите, что угол APB равен полусумме углов AOB и COD.

Угол АРВ - внешний угол треугольника АДР. Значит, угол АРВ = угол РАД + угол АДР.

Угол ДАР = угол ДАС = 1/2 дуги ДС (т. к. вписанный).

Угол АДР = угол АДВ = 1/2 дуги АВ (т. к. вписанный).

Тогда угол АРВ = (дуга АВ + дуга СД) / 2

Дуга АВ = центральному углу АОВ

Дуга СД = центральному углу СОД

Угол АРВ = (угол АОВ+угол СОД) / 2