Докажите иррациональность числа:

2+корень из 2 и все в корне, корень из 5 + корень из 2 - 1

1) Пусть число sqrt (2 + sqrt (2)) - рациональное. Тогда и его квадрат 2 + sqrt (2) рационален. Но это не так, 2 + sqrt (2) - сумма рационального и иррационального чисел. Противоречие.

(Доказательство иррациональности числа sqrt (2) : пусть sqrt (2) = m/n, m/n - несократимая дробь, m, n - натуральные числа. Возводим в квадрат, домножаем на n^2, получаем m^2 = 2n^2, откуда m - чётное. Пусть m = 2M. Подставляем, сокращаем на 2, получаем n^2 = 2M^2, откуда n - тоже чётное, что противоречит предположению о несократимости дроби m/n)

2) Пусть число sqrt (5) + sqrt (2) - 1 рациональное, тогда и sqrt (5) + sqrt (2) тоже рациональное, и (sqrt (5) + sqrt (2)) ^2 = 5 + 2 + 2sqrt (10) = 7 + 2 sqrt (10) рациональное, тогда и sqrt (10) тоже рациональное. Но sqrt (10) - иррациональное, противоречие. Значит, sqrt (5) + sqrt (2) - 1 - иррациональное.

Иррациональность sqrt (10) доказывается аналогично: sqrt (10) = m/n, m^2 = 10n^2. Дальше можно, наример, точно так же, как и в примере выше, доказать, что m и n должны быть чётными.