Из стального шара радиуса 3 см изготовили с наименьшим количеством отходов деталь в виде прямого кругового конуса. Найти объем полученной детали

Решение:

Vк=Пr^2h/3 h-высота конуса r-радиус основания.

пусть угол между основанием и образующей равен a

а=2Rsina, где а - образующая h=2Rsin^2a

r=2Rsinacosa

V = (П/3) * R^3 * (2sin^2a*4*sin^2a*cos^2a) = (8R^3 П/3) * sin^4a (1-sin^2a)

f (a) = sin^4a (1-sin^2a) = sin^4a-sin^6a

f' (a) = sin^3a*cosa (4-6sin^2a) = 0 4=6sin^2a sin^2a=2/3

sin^4a=4/9 1-sin^2a=1-2/3=1/3

V = (8R^3 П/3) * sin^4a (1-sin^2a) = ((3^3) * 8*П/3) * (4/9) * (1/3) = 32 П/3