Докажите, что для любого числа b> = - 1 и любого натурального числа n справедливо неравенство (1+b) ^n>=1+nb

Это знаменитое неравенство Бернули.

Как вариант оно доказывается методом мат индукции. (для натуральных n)

1) Для n=1

1+b>=1+b (верно тк наблюдается равенство)

2) Положим верность утверждения для n=k

(1+b) ^k>=1+kb

3) Докажем его справедливость для n=k+1

(1+b) ^k+1>=1+b (k+1).

ИМеем

(1+b) ^k>=1+kb

тк b>=-1 то 1+b>=0 что позволяет умножать обе части неравенства на 1+b без страха изменения знака неравенства.

(1+b) ^k+1> = (1+bk) (1+b) = 1+b+bk+b^2*k=1+b (k+1) + b^2*k

тк b^2*k>=0 то 1+b (k+1) < = 1+b (k+1) + b^2*k то раз справедиво неравенство

(1+b) ^k+1>=1+b (k+1) + b^2*k

ТО и верно неравенство:

(1+b) ^k+1>=1+b (k+1)

. ТО в силу принципа математической индукции неравенство является верным.

Чтд.