Помогите решить sin (π√x) sin (π√ (x+6)) = 1 Ответ (1/4) ?

Произведение синусов равно 1, когда они одновременно равны или плюс 1, или минус 1, т. е.

1) sin (π√x) = 1 и sin (π√ (x+6)) = 1

Решением первого будет:

π√x = π/2 + 2πn, где n∈Z, или √x = 1/2 + 2n, или x = (2n + 1/2) ²

Решением второго:

π√ (x+6) = π/2 + 2πm, где m∈Z, или √ (x+6) = 1/2 + 2m, или x = (2m + 1/2) ² - 6

Приравняем оба решения друг другу: (2n + 1/2) ² = (2m + 1/2) ² - 6

Перепишем: (2m + 1/2) ² - (2n + 1/2) ² = 6

По формуле разности квадратов:

(2m + 1/2 - 2n - 1/2) * (2m + 1/2 + 2n + 1/2) = 6

(2m - 2n) * (2m + 2n + 1) = 6

(m - n) * (2m + 2n + 1) = 3

Произведение равно простому числу, значит, сомножители м. б. равны (+1) и (+3) или (-1) и (-3). Однако из решений √x = 1/2 + 2n и √ (x+6) = 1/2 + 2m следует, что n≥0 и m≥0. Отсюда (2m + 2n + 1) ≥ 1, а значит, и (m - n) ≥ 0. Поэтому рассмотрим только следующие два варианта.

а) m - n = 1; 2m + 2n + 1 = 3;

m - n = 1; m + n = 1;

Отсюда, m=1 и n = 0. Тогда, x = (2*0 + 1/2) ² = 1/4 и x = (2*1 + 1/2) ² - 6 = 1/4

Есть решение: x = 1/4, значение проходит проверку.

б) m - n = 3; 2m + 2n + 1 = 1;

m - n = 3; m + n = 0;

Отсюда, 2m = 3, решения нет, m - не целое число.

Итак, x = 1/4

2. sin (π√ (x) = - 1 и sin (π√ (x+6) = - 1;

Решением первого будет:

√x = 2n - 1/2; x = (2n - 1/2) ^2

Решением второго:

√ (x+6) = 2m - 1/2; x = (2m - 1/2) ^2 - 6

Делаем всё аналогично.

(2n - 1/2) ² = (2m - 1/2) ² - 6; (2m - 1/2) ² - (2n - 1/2) ² = 6;

(2m - 1/2 - 2n + 1/2) * (2m - 1/2 + 2n - 1/2) = 6

(2m - 2n) * (2m + 2n - 1) = 6

(m - n) * (2m + 2n - 1) = 3

Произведение равно простому числу, значит, сомножители м. б. равны (+1) и (+3) или (-1) и (-3). Однако из решений √x = 2n - 1/2 и √ (x+6) = 2m - 1/2 следует, что n≥1 и m≥1. Отсюда (2m + 2n + 1) ≥ 3, а значит, и (m - n) ≥ 0. Более того, (2m + 2n + 1) = 3 и (m - n) = 1. Этот вариант и рассмотрим.

m - n = 1; 2m + 2n - 1 = 3;

m - n = 1; m + n = 2;

Отсюда, 2m = 3, решения нет.

Ответ: x = 1/4