X^4+4x^3-2x^2-12x+9=0

x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0

Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.

Если это уравнение имеет рациональные корни, то они все целые и являются делителем числа 9.

Делители числа 9: 1; -1; 3; -3; 9; -9.

Рассмотрим сумму коэффициентов:

1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0 = > х = 1 - корень уравнения.

Разделим данный многочлен на двучлен х - 1.

x^4+4x^3-2x^2-12x+9|x-1

-x^4+x^3 x^3 + 5x^2 + 3x - 1

5x^3 - 2x^2

-5x^3 + 5x^2

3x^2 - 12x

-3x^2 + 3x

-9x + 9

-9x - 9

0

Получаем:

(x - 1) (x^3 + 5x^2 + 3x - 1) = 0

Рассмотрим второе уравнение:

x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0

Уравнение с целыми коэффициентами, приведённое.

Если это уравнение имеет рациональные корни, то они все целые и являются делителем числа - 1.

Делители числа - 1 : 1; - 1

Рассмотри сумму коэффициентов:

1 + 5 + 3 - 1 = 8 = > x = - 1 - не является корнем уравнения.

Рассмотрим сумму коэффициентов при четных степенях: 5 - 1 = 4

Рассмотрим сумму коэффициентов при нечётных степенях: 1 + 3 = 4

Значит х = 1 - корень уравнения

Ответ: корнем исходного уравнения является число х = 1.