В системе из трехлинейных уравнений

Ax + By + Cz = 0

Dx + Ey + Fz = 0

Gx + Hy + Iz = 0

от трех переменных x, y, z коэффициенты A, E, H положительны, остальные отрицательны, A > |B + C|, E > |D + F|, H > |G + I|

Докажите, что система имеет единственное решение x=y=z

Если в условии действительно H > |G + I|, то утверждение, очевидно, неверно: например, система

3x - y - z = 0

-x + 3y - z = 0

-x + 3y - z = 0

кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).

Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным:

Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты:

x - ay - bz = 0

-cx + y - dz = 0

-ex - fy + z = 0

Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.

Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим:

x - ay - bz = 0

(1 - ac) y - (d + bc) z = 0

- (f + ae) y + (1 - be) z = 0

Так как 0 < a, b, c, e 0.

Прибавим к третьему уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae):

x - ay - bz = 0

(1 - ac) y - (d + bc) z = 0

[ (1 - ac) (1 - be) - (d + bc) (f + ae) ] z = 0

Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении:

(1 - ac) (1 - be) - (d + bc) (f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)

Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e:

ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a) e + (1 - c) (1 - e) + (1 - a) c (1 - e) + a (1 - c) e = 1.

Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0.

Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0.

Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.

x = y = z = 0, ура.