Найти площадь: y^2=6x; y^2=-4 (x-5)

Для удобства поменяем местами оси:

1) x^2 = 6y, y1 = x^2 / 6

2) x^2 = - 4 (y-5), y2 = - x^2 / 4 + 5

Найдем точки пересечения с 0x:

y2 - y1 = - x^2 / 4 + 5 - x^2 / 6 = - 5x^2 / 12 + 5 = - 5/12 * (x^2 - 12) = - 5/12 * (x - 2√3) * (x + 2√3).

Точки пересечения: - 2√3 и 2√3.

Площадь фигуры между графиками этих функций равна определенному интегралу от - 2√3 до 2√3 от разности этих функций y2-y1. Разность y2-y1 > 0 между точками - 2√3 и 2√3, поэтому берем y2-y1, а не y1-y2.

∫ (-5/12 * (x^2 - 12)) dx = - 5/12 * (x^3 / 3 - 12x) + const

Подставим границы:

(-5/12 * ((2√3) ^3 / 3 - 12 * (2√3))) - (-5/12 * ((-2√3) ^3 / 3 - 12 * ( - 2√3))) = 40√3/3