Написали подряд три раза двузначное число (например 595959). докажите, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37.

Пусть данное двузначное число 10a+b, где цифра а - цифра числа десятков, а цифра b - цифра числа единиц, написав три раза данное двузначное число получим число

100000b+10 000a+1 000b+100a+10b+a=101010b+10101a=10101 * (10b+a)

так как множитель 10101=3*7*13*37, то получаем, что записав указанем способом любое двузначное число получим число, делящееся на 3, 7, 13, и 37, что и требовалось доказать