Найти наименьшее значение а, при котором имеет решения уравнение.

0,5 (sinx+sqrt3cosx) = 8-7a-2a^2

Согласно формуле сложения гармонических колебаний

sin x + √3 * cos x = 2 * sin (x + π/3)

Тогда уравнение принимает вид

sin (x+π/3) = 8 - 7 * a - 2 * a² = 14,125 - (6,125 + 7 * a + 2 * a²) =

14,125 - 2 * (a² + 3,5 * a + 3,0625) = 14,125 - 2 * (a + 1,75) ²

Поскольку значение синуса лежит в пределах от - 1 до 1, то

-1 ≤ 14,125 - 2 * (a + 1,75) ² ≤ 1, откуда

6,5625 ≤ (a + 1,75) ² ≤ 7,5625

Итак, √6,5625 ≤ а + 1,75 ≤ 2,75 или - 2,75 ≤ а + 1,75 ≤ - √6,5625. Тогда

√6,5625 - 1,75 ≤ а ≤ 1 или - 4,5 ≤ а ≤ - √6,5625 - 1,75

Следовательно, минимальное значение параметра, при котором уравнение имеет решение а = - 4,5