Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Есть очень известная теорема Ферма-Эйлера, вот её формулировка:

Нечётное простое число представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид

4k + 1 где k - нат. число.

Пусть наши числа х и y. Тогда по этой теореме

х = 4m + 1, y = 4n + 1 (где n, m - нат. числа)

Рассмотрим произведение чисел х и y

хy = (4m + 1) (4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4 * (4 mn + m + n) + 1 = >

обозначив выражение 4 mn + m + n чрез некое натуральное число q имеем

хy = 4q + 1

тогда по этой же теореме произведение хy представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел ...