Решить уравнение x³+ax²-5x+6=0 если один из его корней равен 3

1) Найдём а. Для этого в данное уравнение x³+ax²-5x+6=0 подставим х=3.

3³ + а·3² - 5·3 + 6 = 0

27 + 9 а - 15 + 6 = 0

9 а + 18 = 0

9 а = - 18

а = - 18 : 9

а = - 2

2) Решаем полученное уравнение

x³ - 2x² - 5x + 6 = 0

Один корень уже есть х=3

Можно решить с помощью разложения многочлена (x³ - 2x² - 5x + 6) на множители, для этого

(x³ - 2x² - 5x + 6) : (х-3) = (х² + х - 2)

т. е.

(x³ - 2x² - 5x + 6) = 0 = > (х-3) · (х² + х - 2) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Получаем:

1) х-3=0

х₁ = 0

2) х² + х - 2 = 0

D = b²-4ac

D = 1 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9

√D = √9 = 3

x₂ = (-1+3) / 2 = 2/2 = 1

x₃ = (-1-3) / 2 = - 4/2 = - 2

Ответ: - 2; 1; 3