Решите уравнение:

x^2+x=0,6 (x+3-√ (5x^2+2x+1))

1) Раскрываем скобки

x^2 + x = 0,6x + 1,8 - 0,6*√ (5x^2 + 2x + 1)

Переносим корень налево, а все остальное направо

0,6*√ (5x^2 + 2x + 1) = - x^2 - x + 0,6x + 1,8 = - x^2 - 0,4x + 1,8

2) Область определения:

Выражение под корнем должно быть неотрицательным

5x^2 + 2x + 1 > = 0

D = 4 - 4*5*1 = 4 - 20 < 0 - корней нет, оно положительно при любом х.

3) Корень арифметический, то есть неотрицательный, поэтому выражение справа тоже должно быть неотрицательным

-x^2 - 0,4x + 1,8 > = 0

Умножаем на - 5, при этом знак неравенства меняется

5x^2 + 2x - 9 < = 0

D = 4 - 4*5 * (-9) = 4 + 180 = 184 = (2√46) ^2

x1 = (-2 - 2√46) / 10 = (-1-√46) / 5 ~ - 1,56;

x2 = (-1+√46) / 5 ~ 1,16

x ∈ [ (-1-√46) / 5; (-1+√46) / 5]

4) Теперь решаем само уравнение

0,6*√ (5x^2 + 2x + 1) = - 0,2 * (5x^2 + 2x - 9)

Сокращаем на 0,2

3√ (5x^2 + 2x + 1) = 5x^2 + 2x - 9

Замена 5x^2 + 2x + 1 = t > 0 при любом х, это мы уже знаем из п. 2)

3√t = t - 10

Возводим в квадрат

9t = t^2 - 20t + 100

t^2 - 29t + 100 = 0

(t - 4) (t - 25) = 0

5) Обратная замена

t1 = 5x^2 + 2x + 1 = 4

5x^2 + 2x - 3 = 0

(x + 1) (5x - 3) = 0

x1 = - 1; x2 = 3/5 = 0,6 - оба корня попадают в Обл. Опр.

t2 = 5x^2 + 2x + 1 = 25

5x^2 + 2x - 24 = 0

(x - 2) (5x + 12) = 0

x3 = - 12/5 = - 2,4; x4 = 2 - оба корня не попадают в Обл. Опр.

Ответ: x1 = - 1; x2 = 0,6