Известно, что уравнение x^4-12x^3+ax^2+bx+81=0 имеет (с учетом кратности) четыре положительных корня. Найдите a-b

x^4 - 12x^3 + ax^2 + bx + 81=0

Если оно имеет 4 положительных корня, то его можно разложить

(x - x1) (x - x2) (x - x3) (x - x4) = 0

Если раскрыть скобки и привести подобные, то мы получим теорему Виета для уравнения 4 степени:

{ x1 + x2 + x3 + x4 = 12

{ x1*x2 + x1*x3 + x1*x4 + x2*x3 + x2*x4 + x3*x4 = a

{ x1*x2*x3 + x1*x2*x4 + x1*x3*x4 + x2*x3*x4 = - b

{ x1*x2*x3*x4 = 81

Из 1 и 4 уравнения можно найти единственное целое решение:

x1 = x2 = x3 = x4 = 3

Тогда 2 и 3 уравнения запишутся так:

{ 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 = 54 = a

{ 3*3*3 + 3*3*3 + 3*3*3 + 3*3*3 = 108 = - b

a - b = 54 + 108 = 162

Корни могут быть не обязательно целыми, но разность a-b все равно останется такой же.

Ответ: 162