Решить задачу

Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около цилиндра высоты h с радиусом основания r.

(Плоскости оснований конуса и цилиндра совпадают)

Пусть r, h - радиус основания и высота цилиндра,

R, H - радиус основания и высота конуса.

Из подобия треугольников находим:

r / (H-h) = R/H, откуда

R = r*H / (H-h).

Подставляем R в формулу для объема конуса:

V = (1/3) * H*п*R^2 = (п/3) * r^2*H^3 / (H-h) ^2.

Дифференцируем V по H:

dV/dH = (п*r^2) * (H^2 / (H-h) ^2 - (2/3) * H^3 / (H-h) ^3) =

= (п*r^2*H^2 / (H-h) ^2) * (1 - (2/3) * H / (H-h)).

Приравнивая производную нулю.

Отбрасываем решение H=0 так как H>h, и находим экстремум при H = 3*h. Этот единственный экстремум должен соответствовать минимуму.

То есть, объем описанного конуса минимален, когда высота конуса в три

раза больше высоты цилиндра.