при каком значении параметра k уравнение x^4 + (2k+8) x^2+k^2+8k+15=0 имеет 4 решения?

x⁴ + (2k+8) x² + k² + 8k + 15 = 0

замена: у = х²

у² + (2k+8) ·у + k² + 8k + 15 = 0

Исходное уравнение будет иметь 4 корня, если дискриминант уравнениия относительно у будет положительным и оба корня у₁ и у₂ будут положительными.

Найдём дискриминант уравнения

D = (2k+8) ² - 4 (k² + 8k + 15) = 4k² + 32k + 64 - 4k² - 32k - 60 = 4

√D = 2 (два решения!)

у₁ = (-2 (k + 4) - 2) : 2 у₁ = - k - 5

у₂ = (-2 (k + 4) + 2) : 2 у₁ = - k - 3

Найдём, при каких k оба корня будут положительными

-k - 5 > 0 и - k - 3 > 0

k < - 5 и k < - 3

пересечением этих интервалов является k < - 5

Ответ: при k < - 5 исходное уравнение имеет 4 решения