Решить уравнение: √sinx=√cosx

Sqrt{sinx}=sqrt{cosx}. Возведём обе стороны в квадрат. Имеем:

sinx=cosx. Доделим обе части на cosx, который не равен нулю. (Чтобы проверить, можно ли делить на cosx, нужно вместо cosx подставить 0, если будет выполнять равенство 0=0, значит нельзя, у нас получится sinx=0, значит делить на cosx можно).

sinx=cosx |:cosx;

tgx=1;

x=arctg1+pi*k, k£Z;

x=pi/4+pi*k, k£Z.

Также cosx не=0;

x не = pi/2+pi*n, n£Z.

Проверим уравнение на пересечение этих углов. Видим, что общих точек у уравнений tgx и cosx нету, значит уравнение tgx=pi/4+pi*k - удовлетворяет ОДЗ.

Так же, поскольку у нас корни в уравнении были парные, и мы возводили стороны уравнения в парную степень, необходимо выполнить проверку, подставив х=pi/4 в исходное уравнение. Далее мы видим, что период pi*k нас не подходит, так как синус и косинус в этом случае будут отрицательны, и корень не извлекается. Следовательно, нам подходит только положительная четвёрть, первая, где косинус и синус будут положительны. Ответ: х=pi/4+2pi*k, k£Z.