Найти значения а, при которых уравнение имеет действительный решение и указать знаки

корней: x-2 (a-1) x+2a+1=0 / нужна помощь

X^2 - 2 (a-1) x + (2a+1) = 0

1) Если оно имеет действительные корни, то D > = 0

D/4 = (b/2) ^2 - ac = (a-1) ^2 - 1 (2a+1) = a^2 - 2a + 1 - 2a - 1 = a^2 - 4a > = 0

a (a - 4) > = 0

a = 4

Знаки корней.

2) Если a < = 0, то a - 1 < 0

x1 = (-b/2 - √ (D/4)) / a = (a - 1 - √ (a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 - √ (a^2 - 4a) < 0

x2 = (-b/2 + √ (D/4)) / a = (a - 1 + √ (a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 + √ (a^2 - 4a)

x2 может быть и больше и меньше 0.

a) a - 1 + √ (a^2 - 4a) < 0

√ (a^2 - 4a) < 1 - a

a^2 - 4a < a^2 - 2a + 1

2a > - 1;

-1/2 < a < = 0

b) a - 1 + √ (a^2 - 4a) > 0

Аналогично получаем

a < - 1/2

3) Если a = - 1/2, то c = 2a + 1 = 0, тогда

x^2 - 2 (-1/2 + 1) x + 0 = 0

x^2 - 2 (1/2) x = 0

x^2 - x = 0

x1 = 0, x2 = 1 > 0

4) Если a > = 4, то a - 1 > 0

x1 = (-b/2 - √ (D/4)) / a = (a - 1 - √ (a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 - √ (a^2 - 4a)

x1 может быть и больше и меньше 0.

x2 = (-b/2 + √ (D/4)) / a = (a - 1 + √ (a^2 - 4a)) / 1 = a - 1 + √ (a^2 - 4a) > 0

a) a - 1 - √ (a^2 - 4a) < 0

√ (a^2 - 4a) > a - 1

a^2 - 4a > a^2 - 2a + 1

2a < - 1

a = 4

b) a - 1 - √ (a^2 - 4a) > = 0

√ (a^2 - 4a) < = a - 1

a^2 - 4a < = a^2 - 2a + 1

2a > = - 1

a > = - 1/2 - подходит для любых a > = 4

Значит, при любом a > = 4 оба корня положительны.

Ответ: При - 1/2 < a < = 0 будет x1 < 0, x2 < 0

При a = - 1/2 будет x1 = 0, x2 > 0

При a < - 1/2 будет x1 0

При a > = 4 будет x1 > 0, x2 > 0

При 0 < a < 4 действительных корней нет.