6^x+8^x=10^x

Решите уравнение

6^x+8^x=10^x

6^x+8^x-10^x=0

(2*3) ^x + (2*4) ^x - (2*5) ^x=0

2^x*3^x + 2^x*4^x - 2^x*5^x = 0

2^x (3^x+4^x-5^x) = 0

2^x=0 U 3^x+4^x-5^x=0

1) 2^x=0 - решений нет, т. к. 2^x >0 должно быть

2) 3^x+4^x-5^x=0

3^x+4^x=5^x

Легко заметить, что х=2 - корень уравнения. Докажем это:

разделим обе части уравнения на "5^x":

(3/5) ^x + (4/5) ^x = 1

Функция y (x) = (3/5) ^x + (4/5) ^x монотонно убывает (как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз. Поскольку y (2) = 1, то х=2 - единственный корень уравнения (3/5) ^x + (4/5) ^x=1, а значит, и данного уравнения.

Ответ: x=2