На окружности отмечено 10 точек. Сколько существует многоугольников с вершинами в отмеченных точках?

Из любых трёх точек, не расположенных на одной прямой, можно посторить треугольник. Раз все точки на окружности, то никакие три не могут быть на одной прямой (точки вероятно не совпадают друг с другом ни одна).

Тогда берём 1 и 2 точки. Третьей могут быть 3, 4, 5, 6, 7. Итого можно построить 5 треугольников. Затем берём 1 и 3. Третьей могут быть 2, 4, 5, 6, 7. Снова 5 штук.

Всего возможно комбинаций:

1-2-3

1-2-4

1-2-5

1-2-6

1-2-7

1-3-2

1-3-4

1-3-5

1-3-6

1-3-7

1-4-2

1-4-3

1-4-5

1-4-6

1-4-7

1-5-2

1-5-3

1-5-4

1-5-6

1-5-7

1-6-2

1-6-3

1-6-4

1-6-5

1-6-7

1-7-2

1-7-3

1-7-4

1-7-5

1-7-6

Итого только с единицей 30 штук. Но надо учесть, что 1-2-3 и 1-3-2 это по сути одинаковые треугольники. Потому один из них вычёркиваем. То есть по такой схеме нам подойдут только те треугольники, у которых цифры в порядке возрастания идут.

Тогда все варианты:

123

124

125

126

127

134

135

136

137

145

146

147

156

157

167

234