2. Найдите наименьшее натуральное N, такое, что 59! не кратно N.

5. Дан квадратный трехчлен P (x) = x² - 1001x + 1. Найдите сумму действительных

корней уравнения P (P (x)) = 0.

2) 59! можно разложить на простые 59! = 2^47 * 3^27 * 5^13 * 7^9 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^3 * 23^2 * 29^2 * 31 * 37 * 41 * 53 * 59 наименьшее кратный делитель будет следующее простое число, то есть N=61.

5) P (x) = x^2-1001x+1

P (P (x)) = 0

P (P (x)) = (x^2-1001x+1) ^2-1001 (x^2-1001x+1) + 1

P (P (x)) = f (x)

f ' (x) = 2 (x^2-1001x+1) * (2x-1001) - 1001 * (2x-1001) = 0

f ' (x) = 0

(2x-1001) (2x^2-2002x-999) = 0

x=1001/2

x = (1001+/-√1003999) / 2

Откуда получаем что функция

возрастает на интервале

((1001-√1003999) / 2, 1001/2) U ((1001+√1003999) / 2, + oo)

убывает на интервале

(-oo, (1001-√1003999) / 2) U (1001/2, (1001+√1003999) / 2)

Производная в точке x0 = (1001-√1003999) / 2) слева на право от нее меняется знак с (-) на (+), в точке x0 = (1001+√1003999) / 2 слева на право меняется знак с (-) на (+),

значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f (x0) <0.

Так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4, из исследования монотонности функции, получаем что f (x) имеет ровна 4 различных вещественных корня.

По теореме Виета для четвертой степени, сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4

Значит надо рассмотреть только одну скобку

(x^2-1001x+1) ^2 = x^4-2002x^3+Q (x)

x1, x2, x3, x4 корни уравнения f (x)

Откуда x1+x2+x3+x4 = - (-2002/1) = 2002.