На равномерной квадратной сетке выбрано 5 произвольных узлов. Докажите, что среди этих узлов есть хотя бы 2 таких, что середина соединяющего их отрезка тоже будет узлом сетки.

Будем считать узлами сетки точки на плоскости XY с целочисленными координатами.

Для узлов (xi, yi), (xj, yj) середина соединяющего их отрезка имеет координаты ([xi+xj]/2, [yi+yj]/2) и является узлом, если координаты целые.

Для целых чисел a, b число (a+b) / 2 является целым, если одновременно a и b четные, либо если одновременно a и b нечетные.

Т. е. среди пяти выбранных узлов должны найтись два таких, что четности их координат попарно совпадают.

Среди пяти узлов найдется хотя бы три с одинаковой четностью x-координат (Пусть среди пяти узлов k имеют четную x-координату. Если k > = 3, имеется 3 узла с четной координатой. Если k = 3 - имеется 3 узла с нечетной координатой). Рассмотрим эти три узла. Среди них найдется хотя бы два с одинаковой четностью y-координаты (Аналогично, среди чисел k и 3-k хотя бы одно > = 2). Т. е. мы получили два узла с попарно одинаковыми четностями координат - > середина соединяющего их отрезка имеет целые координаты - > она является узлом сетки.