Докажите, что для любых натуральных n, n^5+4n делится 5

N^5+4n=n (n^4+4) =

n ((n^4+4n^2+4) - 4n^2) =

n ((n^2+2) ^2 - (2n) ^2) =

n (n^2+2-2n) (n^2+2+2n)

Все натуральные (даже целые) числа можно представить в одном из 5 видов:

1) те, которые делятся на 5 (5, 10, 15, 20, ..., а если говорить о целых, то и 0, - 5, - 10, ... - каждое пятое число такое)

2) те, которые на 1 больше тех, которые делятся на 5 (то есть дают остаток 1 при делении на 5 (6=5+1, 11=10+1, ... а также 1=0+1, - 4=-5+1, - 9=-10+1, ... - каждое пятое число такое)

3) те, которые на 2 больше тех, которые делятся на 5 (7=5+2, 12=10+2, ...,2=0+2, - 3=-5+2, ...)

4) те, которые на 3 больше тех, которые делятся на 5 (8=5+3, ...,

3=0+3, - 2=-5+3, ...). Кстати, эти же числа описываются также как те, которые на 2 меньше тех, которые делятся на 5 (3=5-2, 8=10-2,

13=15-2, ...)

5) те, которые на 4 больше тех, которые делятся на 5, они же те,

которые на 1 меньше тех, которые делятся на 5 (4=0+4=5-1,

9=5+4=10-1, ...)

Нужный результат докажем по отдельности для каждой ихз 5 категорий.

1) n=5k ⇒ первый множитель в разложении нашего выражения делится на 5

2) n=5k+1⇒ третья скобка n^2+2n+2=25k^2+10k+1+10k+2+2=

5 (5k^2+4k+1) делится на 5

3) n=5k+2⇒ третья скобка n^2+2n+2=25k^2+20k+4+10k+4+2=

5 (5k^2+6k+2) делится на 5

4) n=5k+3⇒вторая скобка n^2-2n+2=25k^2+30k+9-10k-6+2=

5 (5k^2+4k+1) делится на 5

5) n=5k+4⇒вторая скобка n^2-2n+2=25k^2+40k+16-10k-8+2=

5 (5k^2+6k+2) делится на 5

Утверждение доказано. Кстати, числа были бы немного поменьше, если в 4-м и 5-м случаях числа представлять в виде n=5k-2 и т=5k-1.

И еще. Утверждение можно было бы доказать методом математической индукции, но об этом как нибудь потом