Покажите, что многочлен Х^8+Х^6-4 Х^4+2 Х^3+5 не имеет отрицательные значения.

Решение

Х^8+Х^6-4 Х^4+2 Х^3+5 = x⁸ + x⁶ - 4x⁴ + 2x³ + 4 + 1=

= (x⁸ - 4x⁴ + 4) + (x⁶ + 2x³ + 1) = (x⁴ - 2) ² + (x³ + 1) ²

(x⁴ - 2) ² ≥ 0

(x³ + 1) ² ≥ 0

Значит, многочлен Х^8+Х^6-4 Х^4+2 Х^3+5 ≥ 0, т. е. не имеет отрицательные значения.