При каких значениях параметра k неравенство х+k>2sinx выполняется для всех положительных значений х?

По определению:

sinx ≤ 1

Для положительных x:

sinx < x

сложим два неравенства:

2sinx < 1 + x

Значит, при k=1 всегда выполняется неравенство для любых положительных x

Так же оно выполняется для любых k > 1

Рассмотрим остальные k:

1) k∈ (-∞; - 1), т. е. k = (-1 - l), l > 0, для x∈ (0; l)

2sinx < - 1 - не выполняется ни при каких х

2) k∈[-1; 0), тогда для x∈ (0; |k|)

2sinx < - 1 - не выполняется ни при каких х

3) k∈[0; 1), для x∈ (k; 1)

sinx < k - должно выполняться для любых x, всегда найдется х, что неравенство не выполнится

Ответ: k∈[1; +∞)