Существует ли такие три действительные числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трехчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Положим что такое возможно. Тк мы имеем права в любой итерации перемены местами коэффициентов, при поиске корней поделить обе части уравнения на любой его - коэффициент, (Тк он константа), то Можно принять первый член произвольно равным единице. (надеюсь понятно) Тогда уравнение примет вид: x^2+bx+c=0. По теореме Виета когда два положительных решения, очевидно, что. b = - (x1+x2) 0 То есть мы имеем: 1>0, b0 На какой то итерации перестановок получим два отрицательных корня. Тогда произведение его корней также положительно, а вот сумма корней станет отрицательной. (то второй коэффициент должен быть положительным!) Тогда кандидатом на второй коэффициент могут быть либо 1 либо с. 1 быть не может, тк произведение корней равно отношению последнего и первого члена (теорема Виета), но b и c разных знаков, то их отношение отрицательно, что противоречит положительности произведения корней. Аналогично с не может быть вторым членом, тк b0. То есть мы пришли к противоречит. То есть таких a, b, c не существует