Делится ли число: 1111 ... 111 - 81 раз, на 81?

Да, делится, т. к. сумма всех цифр числа (1+1+1 + ... + 1+1+1=81) делится на 81

По аналогии с признаком делимости на 3 и на 9

Да.

Число 111 ... 1 (9 единиц) делится на 9 (т. к. сумма цифр делится на 9). Разделим это число на 9, получим некоторое число X.

Исходное число, поделённое на 9, равно

X + 10^9 X + 10^18 X + ... + 10^72 X

Т. к. X < 10^9, то сумма цифр этого числа равна удевятерённой сумме цифр числа X, тогда исходное число, поделённое на 9, ещё раз делится на 9. Поэтому делится на 9 * 9 = 81.