Найдите аналитическое выражение для функции f (x), если известно, что 2f (x) + f (1-x) = x^2

Попробуем удовлетворить уравнению функцией вида f (x) = a*x²+b*x+c. Тогда 2*f (x) = 2*a*x²+2*b*x+2*c и f (1-x) = a * (1-x) ²+b * (1-x) + c. Подставляя эти выражения в уравнение, приходим к уравнению 3*a*x²+x * (b-2*a) + (3*c+a+b) = x². Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему уравнений:

3*a=1

b-2*a=0

3*c+a+b=0

Решая её, находим a=1/3, b=2/3, c=-1/3. Значит, f (x) = 1/3*x²+2/3*x-1/3. Ответ: f (x) = 1/3*x²+2/3*x-1/3.