Как доказать, что число иррационально?

нужно доказать, что значение выражения √ (5+2) - (√ 5 + √2) иррационально

Докажем сначала, что √7 - иррациональное число:

пусть √7 - рациональное, тогда его можно представить в виде

√7 = p/q - несократимая дробь, где p, q - натуральные числа

тогда 7=p^2/q^2, 7q^2=p^2. Т. к. 7q^2 делится на 7, то и p^2 делится на 7,

тогда p=7k, где к - натуральное, получаем

7q^2 = (7k) ^2, 7q^2=49k^2, q^2=7k^2, значит q - делится на 7.

Получается, что p - делится на 7 и q - делится на 7, т. е. противоречие,

т. к. p/q - несократимая дробь. Значит не существует рационального числа, которое равно √7.

Аналогично доказывается, про √5 и √2.

Теперь про сумму (разность) иррациональных чисел:

1. сначала докажем, что √5+√2 - иррациональное

пусть √5+√2=r - рациональное, тогда √5=r-√2, 5=r^2-2√2+2, получаем

√2 = (r^2 - 3) / 2 - рациональное - противоречие, т. к. √2 - иррац.

2. пусть√7 - (√5+√2) = r - рациональное, тогда

√7-r=√5+√2, 7-2√7r+r^2=5+2√10+2, √5√2+√7=r^2 / 2 - рациональное,

противоречие, аналогично случаю 1.

Таким образом √7 - (√5+√2) - иррациональное

√7-√5-√2 Значение этой суммы является иррациональным так как оно несократимо, и содержит в себе иррациональные слагаемые