Не решая уравнения: 5x^2+13x-6=0, найдите: а) x1^2+x2^2

b) x1^3+x2^3

Теорема Виетта

(x1+x2) = (-13/5)

x1x2 = (-6/5)

x1^2+x2^2 = (x1+x2) ^2-2x1x2 = (-13/5) ^2+12/5 = 229/25

x1^3+x2^3 = (x1+x2) (x1^2-x1x2+x2^2) = (x1+x2) ((x1+x2) ^2-3x1x2) = (-13/5) * ((-13/5) ^2+18/5) = - 3367/125

Ипользуем теорему Виета

Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

x1 + x2 = - b/a; x1*x2 = c/a

В нашем случае для 5x² + 13x - 6 = 0 имеем x1 + x2 = - 13/5 и x1*x2 = - 6/5

Нам надо вычислить а) x1² + x2². Для этого возведём в квадрат выражение: (x1 + x2) ² = x1² + 2*x1*x2 + x2², откуда выразим

x1² + x2² = (x1 + x2) ² - 2*x1*x2

Сумму и произведение корней мы знаем, подставляем:

x1² + x2² = (-13/5) ²2 - 2 * (-6/5) = 169/25 + 12/5 = (169 + 60) / 25 = 229/25

Аналогично ищем б) x1³ + x2³, но для этого возведём в куб выражение:

(x1 + x2) ³ = x1³ + 3*x1²*x2 + 3*x1*x2² + x2³, откуда выразим:

x1³ + x2³ = (x1 + x2) ³ - 3*x1²*x2 - 3*x1*x2² = (x1 + x2) ³ - 3*x1*x2 * (x1 + x2)

Подставляем:

x1³ + x2³ = (-13/5) ³ - 3 * (-6/5) * (-13/5) = - 2197/125 - 234/25 =

= - 2197/25 - 1170/125 = (-2197 - 1170) / 125 = - 3367/125