Найти неопределенный интеграл (e^x) * sin (x) dx

Пусть I (x) = ∫eˣ*sin (x) * dx. Применим метод "по частям". Пусть u=eˣ, dv=sin (x) * dx, тогда I (x) = u*v-∫v*du. Но du=eˣ*dx, v=∫sin (x) * dx=-cos (x). I (x) = - eˣ*cos (x) + ∫eˣ*cos (x) * dx. Пусть теперь I1 (x) = ∫eˣ*cos (x) * dx. Снова применяем метод "по частям", полагая u=eˣ, dv=cos (x) * dx. Тогда du=eˣ*dx, v=∫cos (x) * dx=sin (x) и I1 (x) = eˣ*sin (x) - ∫eˣ*sin (x) * dx=eˣ*sin (x) - I (x). Мы получили уравнение: I (x) = - eˣ*cos (x) + eˣ*sin (x) - I (x), или 2*I (x) = eˣ*sin (x) - eˣ*cos (x) = eˣ*[sin (x) - cos (x) ]. Отсюда I (x) = eˣ*[sin (x) - cos (x) ]/2. Ответ: eˣ*[sin (x) - cos (x) ]/2.