Равносторонний треугольник поворачивают относительно центра на 3 градуса потом на 9 градусов, на 27 градусов, и т. д. (на n-м шаге его поворачивают на 3 в степени n градусов). Сколько всего разных положений будет занимать треугольник? (А) 360, (Б) 6, (В) 5, (Г) 4, (Д) 3.

Составим следующую таблицу:

Степень n Угол поворота α = 3^n (mod 360)

1 3

2 9

3 27

4 81

5 243

6 9

7 27

8 81

9 243

10 9

11 27

12 81

13 243

14 9

...

Легко заметить, что значения α периодичны начиная с n = 2. Период длины 4 состоит из повторяющихся значений (9,27,81,243). Периодичность α можно доказать и строго (например, методом математической индукции).

Таким образом, мы имеем всего 5 различных значений для угла поворота α: 3,9,27,81,243

Равносторонний треугольник переходит сам в себя при поворотах относительно центра на угол β = Ω + 120k, где k=1,2,3,4, ... Такие повороты β неотличимы от Ω, и должны считаться одинаковыми.

Проверяем и убеждаемся, что 5 различных значений α есть два (а именно, 3 и 243 = 120*2 + 3), которые должны считаться одинаковыми. Оставим из этих двух значений одно (а именно, 3).

Итак, у нас остается всего 4 различных значений α: 3,9,27,81

Следовательно, наши 4 значения для угла поворота α переводят равносторонний треугольник в различные положения.

Ответ: (Г) 4.