Как доказать формулу куба разности?

При любых значениях a и b верно равенство

(a+b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3a b 2 + b 3. (1)

Доказательство.

(a+b) 3 = (a+b) (a 2 + 2a b + b 2) =

= a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2a b 2 + b 3 =

= a 3 + 3 a 2 b + 3a b 2 + b 3

Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,

то оно является тождеством. Это тождество называется

формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b

подставить какие-нибудь выражения, например 5 y 3 и 2z,

то опять получится тождество.

(5 y 3 + 2z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3. (2)

Поэтому формула куба суммы читается так:

куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения

плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,

плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,

плюс куб второго выражения.

При любых значениях a и b верно равенство

(a-b) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3a b 2 - b 3. (3)

Доказательство.

(a-b) 3 = (a-b) (a 2 - 2a b + b 2) =

= a 3 - 2 a 2 b + a b 2 - a 2 b + 2a b 2 - b 3 =

= a 3 - 3 a 2 b + 3a b 2 - b 3

Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,

то оно является тождеством. Это тождество называется

формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b

подставить какие-нибудь выражения, например 5 y 3 и 2z,

то опять получится тождество.

(5 y 3 - 2z) 3 = 125 y 9 - 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 - 8 z 3. (4)

Поэтому формула куба разности читается так:

куб разности двух выражений равен кубу первого выражения

минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,

плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,

минус куб второго выражения.