Даны 2015 положительных чисел, каждое из которых не равно единице. Произведение любых ста из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех чисел

меньше единицы. Как решить?

Возмьем 100 наибольших чисел этой последовательности. Наименьшее из них меньше 1 (т. к. их произведение меньше 1). Значит все оставшиеся числа последовательности не превосходят этого наименьшего, т. е. они тоже меньше 1. Значит их произведение вместе с произведением чисел из той взятой сотни меньше 1. А это и есть прозведение всех.