Доказать неравенство a^4+b^4> = a^3b+b^3a

Преобразуем данное неравенство:

a^4+b^4 ≥ a^3b+b^3a ≥ ab (a^2+b^2)

(a^2+b^2) ^2 = a^4+2a^2b^2+b^4, а (a+b) ^2 = a^2+2ab+b^2,

тогда a^4+b^4 = (a^2+b^2) ^2-2a^2b^2, а a^2+b^2 = (a+b) ^2-2ab. Отсюда

(a^2+b^2) ^2-2a^2b^2 ≥ ab ((a^2+b^2) - 2ab)

(a^2+b^2) ^2-2a^2b^2 ≥ ab (a^2+b^2) - 2a^2b^2

(a^2+b^2) (a^2+b^2) - 2a^2b^2 ≥ ab (a^2+b^2) - 2a^2b^2

Поскольку a^2+b^2 ≥ ab, (a^2+b^2) ^2 ≥ ab (a^2+b^2)

и исходное неравенство доказано.