Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3 получается остаток, равный 1

Все числа от 1 до 75 делятся на три группы.

1) Целые числа, которые делятся на 3 без остатка: 0, 3, 6, 9, 12, ...72,75. Они представимы в виде n=3k, где kϵZ

2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 1: 1, 4, 7, 10, 13, ...73. Они представимы в виде n=3k+1, где kϵZ

2) Целые числа, которые делятся на 3 c остатком 2: 2, 5, 8, 11, 14, ...74. Они представимы в виде n=3k+2, где kϵZ

Выясним, какие остатки имеют квадраты чисел каждой группы.

1) n² = (3k) ²

Квадраты чисел первой группы делятся на 3 без остатка.

2) n² = (3k+1) ²=9k²+6k+1=3 * (3k²+2k) + 1.

Квадраты чисел второй группы делятся на 3 с остатком 1.

3) n² = (3k+2) ²=9k²+12k+4 = 9k²+12k+3+1=3 * (3k²+4k+1) + 1.

Квадраты чисел третьей группы делятся на 3 с остатком 1.

Теперь найдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75, а затем вычтем сумму S₂ всех чисел, которые делятся на 3 без остатка, и получим искомую сумму S всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3 получается остаток, равный 1.

1) Hайдём сумму S₁ всех чисел от 1 до 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

S = (a₁+an) * n/2

а₁ = 1

а₇₅ = 75

n = 75

S₁ = (1+75) * 75/2 = 2850

2) Hайдём сумму S₂ всех чисел от 3, 6, 9, ...,72, 75 по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

S = (a₁+an) * n/2

n = 75:3=25

а₁ = 3

а₂₅ = 75

S₂ = (3+75) * 25/2 = 975

3) Hаконец, найдём сумму S = S₁ - S₂

S = 2850 - 975 = 1875

Ответ: 1875