При каких значениях параметра а неравенство а (x^2+2x-a) ≤ 0 справедливо при всех х≥1?

A (x^2 + 2x - a) < = 0

a (x^2 + 2x + 1 - 1 - a) < = 0

a ((x + 1) ^2 - (a + 1)) < = 0

1) Если a = 0, то вся левая часть = 0 независимо от х, то есть

x = (-oo; + oo), в том числе оно верно и при всех x > = 1

a1 = 0

2) Если a < 0, то

(x + 1) ^2 - (a + 1) > = 0

(x + 1) ^2 > = a + 1

2a) Если a < = - 1 < 0, то a + 1 < = 0, а слева стоит квадрат, который не < 0.

Поэтому опять неравенство верно при любом x = (-oo; + oo) - подходит.

a2 < = - 1

2b) Если - 1 < a < 0, то

x + 1 > = √ (1 + a)

x > = - 1 + √ (1 + a)

При любом а из этого промежутка x > = - 1, и в том числе x > = 1.

-1 < a3 < 0

3) Если a > 0, то

(x + 1) ^2 - (a + 1) < = 0

(x + 1) ^2 < = a + 1

-√ (a + 1) < = x + 1 < = √ (a + 1)

-1 - √ (a + 1) < = x < = - 1 + √ (a + 1)

И при этом должно быть x > = 1. Значит

-1 - √ (a + 1) > = 1

√ (a + 1) < = - 2

Решений нет, так как корень арифметический, т. е. неотрицательный.

Решение: a1 = 0; a2 < = - 1, - 1 < a3 < 0, в итоге

Ответ: a < = 0