Найдите сумму корней уравнения |x^2+5x-4|=3x-1

Т. к. модуль неотрицателен, 3x - 1 > = 0, x > = 1/3.

Если обе части уравнения неотрицательны, можно возвести в квадрат, новых корней при этом не возникнет. Заодно пользуемся тем, что | ... |^2 = ( ...) ^2:

(x^2 + 5x - 4) ^2 = (3x - 1) ^2

(x^2 + 5x - 4) ^2 - (3x - 1) ^2 = 0

Раскладываем по формуле разности квадратов:

(x^2 + 5x - 4 - 3x + 1) (x^2 + 5x - 4 + 3x - 1) = 0

(x^2 + 2x - 3) (x^2 + 8x - 5) = 0

У первой скобки корни - 3, 1 (легко угадать, пользуясь теоремой Виета).

У второй скобки корни найдем, выделив полный квадрат:

x^2 + 8x - 5 = 0

x^2 + 8x + 16 = 16 + 5

(x + 4) ^2 = 21

x = - 4 + - sqrt (21)

Нужны корни, которые не меньше 1/3. У первой скобки это 1, у второй - точно не - 4 - sqrt (21) < 0 и возможно - 4 + sqrt (21).

Сравним - 4 + sqrt (21) и 1/3. Обозначим неизвестный значок за v и попереписываем:

-4 + sqrt (21) v 1/3

sqrt (21) v 1/3 + 4

sqrt (21) v 13/3

3 sqrt (21) v 13

sqrt (183) v sqrt (169) - отсюда ясно, что v = '>', - 4 + sqrt (21) > 1/3.

Получается, у уравнения есть два корня x = 1 и x = - 4 + sqrt (21).

Ответ. sqrt (21) - 3.

P. S. Можно было не сравнивать sqrt (21) - 4 и 1/3, а поступить иначе. Заметим, что график y = x^2 + 8x - 5 - квадратичная парабола, ветви направлены вверх, ось симметрии x = - 4. Тогда если y (1/3) < 0, то больший корень будет больше 1/3.