Докажите что функция y=F (x) является первообразной для функции f (x):

1) F (x) = - ⅜cos 4x/3 + ¾cos 2x/3, f (x) = sin x/3cosx

Чтобы это сделать, нужно доказать, что: F' (x) = f (x)

Найдем F' (x):

F' (x) = - 3/8 * (cos4x/3) ' + 3/4 * (cos2x/3) '

(cos4x/3) ' = - sin4x/3 * (4x/3) ' = - 4/3sin4x/3

(cos2x/3) ' = - sin2x/3 * (2x/3) ' = - 2/3sin2x/3

F' (x) = - 3/8 * (-4/3sin4x/3) + 3/4 * (-2/3sin2x/3)

F' (x) = 1/2*sin4x/3 - 1/2sin2x/3

Пусть 4 х/3 = y

F' (x) = 1/2sin (2y) - 1/2siny

F' (x) = 1/2 * (sin (2y) - siny)

F' (x) = 1/2 * (2siny*cosy - siny)

F' (x) = siny*cosy - 1/2siny

Вернемся к замене

siny = sin4x/3 = sinx/3 - по формуле приведения

cos4x/3 = cosx/3 - по формуле приведения

Возможно где-то ошибся, но тип решения такой, и должно получится, что F' (x) = sinx/3*cosx

Тогда будет доказано, что это первообразная