На левом берегу прямой, как стрела, реки расположены населённые пункты A (в двух километрах от берега) и B (в пяти километрах от берега и в пяти километрах от пункта A). Требуется соединить их с пристанями (или пристанью) на берегу реки. Стоимость пристани со всем оборудованием равна стоимости строительства двух километров дороги. В бюджете есть средства на постройку 10,1 км дороги. Хватит ли этого для решения проблемы? Ответ обосновать.

На две пристани пойдет 2+2+4, а на строительство дорог не менее 2+5, если по перпендикуляру; итого не менее 11 больше 10.

Если строить одну пристань в точке X, то оптимальному её расположению соответствует такая точка, для которой AX+XB минимальна. Эта точка находится так: отражаем B симметрично относительно реки, получая точку B', и проводим отрезок AB'. В пересечении с рекой и получается X. Ввиду равенства XB=XB', а также неравенства треугольника AX+XB'<=AB, получаем нужный вывод. Пусть река идёт по горизонтали, и это ось абсцисс. Тогда ординаты точек A и B отличаются на 3. Расстояние равно 5, и тогда абсциссы отличаются на 4 в силу теоремы Пифагора. Разность абсцисс у точек A, B' такая же, а разность ординат равна 2+5=7. Это значит, что сумма длин дорог равна AX+XB=AB'=корень из (7^2+4^2}=корень из (65) < 8,1, что проверяется возведением в квадрат. Тогда в лимит 10,1 с учётом стоимости постройки одной пристани мы укладываемся.