При каких значениях a и b многочлен A (x) 3x^3+ax^2+bx+9 делится без остатка на многочлен B (x) x^2-9

"A (x) делится на B (x) " означает, что A (x) представим в виде P (x) B (x), P (x) - многочлен.

A (x) = P (x) (x^2 - 9) = P (x) (x - 3) (x + 3)

Необходимое и достаточное условие делимости A (x) на B (x) : A (3) = A (-3) = 0

3*3^3 + a*3^2 + b*3 + 9 = 81 + 9a + 3b + 9 = 0

3 * (-3) ^3 + a * (-3) ^2 + b * (-3) + 9 = 9a + 9 - 3b - 81 = 0

Складывая эти два равенства, получаем 18a + 18 = 0 - > a = - 1

Вычитая из первого второе, получаем 6b + 162 = 0 - > b = - 27

(Т. е. A (x) = 3x^3 - x^2 - 27x + 9)