Постройте график функции y=9x+1/9x^2+x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Y = (9x+1) / (9x^2+x) ОДЗ: 9x^2+x неравен 0

преобразуем знаменатель: x (9x+1) неравен 0

y = (9x+1) / (x (9x+1)) x неравен 0 или 9x+1 неравен 0

сократим 9 х+1, получится функция вида y=1/x. x неравен - 1/9

составим таблицу:

x=1 y=1

x=2 y=0,5

x=4 y=0,25

x=-1 y=-1

x=-1/9 y=-9 (эта точка на графике будет не закрашена, т. е. выколотая)

x=-2 y=-0,5

дальше строишь гиперболу. и через выколотую точку и вторую ветвь проводишь прямую.

далее поставляешь в y=kx значение y и x:

-9=k * (-1/9)

решаешь, и получается k=81. вроде, так.