Задать вопрос
27 января, 23:05

Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на nn. Найдите наибольшее возможное натуральное значение nn.

+1
Ответы (1)
  1. 27 января, 23:28
    0
    Если условие верно для всех натуральных чисел, то и для целых тоже: это следует, например, из формулы бинома Ньютона, (np+r) ^11 дает такой же остаток при делении на n, что и r^11. Прибавляя нужное количество n, из любого отрицательное числа можно сделать положительное, и при этом делимость не нарушится.

    Применим утверждение из условия на разных числах.

    2 + (-1) + (-1) = 0 делится на n

    2^11 - 1^11 - 1^11 = 2 * 3 * 11 * 31 - тоже должно делиться на n

    3 + (-2) + (-1) = 0 делится на n

    3^11 - 2^11 - 1^11 = 2 * 3 * 7 * 11 * 379 - тоже должно делиться на n.

    Из примеров следует, что максимальное возможное значение n равно 2 * 3 * 11 = 66. Докажем, что 66 подходит.

    Рассмотрим разность x^11 - x. Докажем, что при целых x она делится на 66.

    x^11 - x = x (x^10 - 1) = x (x^5 - 1) (x^5 + 1)

    * Делимость на 2: сомножители x, x^5 - 1 разной чётности, поэтому среди них одно чётное, второе нечётное. Значит. произведение делится на 2.

    * Делимость на 3: заметим, что x^5 дает такой же остаток от деления на 3, что и x (это можно проверить только для чисел 1, 0, - 1). Значит, всё произведение даёт такой же остаток, что и x (x - 1) (x + 1). Это произведение трёх последовательных чисел. Среди них обязательно найдётся делящееся на 3, тогда всё произведение делится на 3.

    * Делимость на 11 гарантирует малая теорема Ферма (если p - простое число, то для любого целого a число a^p - a делится на p).

    Итак, разность делится на 2, 3, 11, тогда и на 2 * 3 * 11 = 66.

    Осталось заметить, что если a + b + c делится на 66, то и a^11 + b^11 + c^11 делится на 66, так как (a^11 + b^11 + c^11) - (a + b + c) = (a^11 - a) + (b^11 - b) + (c^11 - c) делится на 66, поскольку каждое слагаемое делится на 66.

    Ответ. n = 66.
Знаешь ответ?
Не уверен в ответе?
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на nn, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на nn. ...» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы