При каком наименьшем натуральном значении n уравнение имеет один корень

x^3 + 3x^2 - 45x + n = 0

Рассмотрим функцию f (x) = x^3 + 3x^2 - 45x + n. Найдём её экстремумы.

f' (x) = 3x^2 + 6x - 45 = 3 (x^2 + 2x - 15) = 3 (x + 5) (x - 2)

В точке x = - 5 производная меняет знак с плюса на минус; это точка максимума. В точке x = 2 - точка минимума.

Один корень у этого уравнения всегда есть. Ещё вещественных корней у него не будет в двух случаях:

a) f (-5) < 0

б) f (2) > 0

Разбираем случаи.

f (-5) = - 125 + 75 + 225 + n = 175 + n - больше нуля при всех натуральных n, случай а) не реализуется никогда

f (2) = 8 + 12 - 90 + n = n - 70 > 0 при n > = 71.

Ответ. 71