Доказать, что при всяком нечетном натуральном n число:

n^12 - n^8 - n^4 + 1 делится на 512

n^12 - n^8 - n^4 + 1 = n^8 * (n^4 - 1) - 1 * (n^4 - 1) = (n^8 - 1) * (n^4 - 1) = (n^4 - 1) (n^4+1) * (n^2-1) (n^2+1) = (n^2-1) (n^2+1) (n^4+1) (n^2-1) (n^2+1) = (n-1) (n+1) (n^2+1) (n^4+1) (n-1) (n+1) (n^2+1)

теперь смотрим но что получили

каждая скобка это числа четные как нечетные + 1 или - 1

заметим что два последовательных четных числа (n-1) (n+1) одно делится на 2 а второе на 4 (n=3) или наоборот на 4 и на 2

И смотрим на что делятся скобки 2 * 4 * 2 * 2 * 2 * 4 * 2 = 512 (bkb 4*2*2*2*4*2*2=512)

таким образом произведение делится на 512